Euler pek çok yeni kavram geliştirmiş, basit aritmetikten sayılar teorisi ve topolojiye kadar farklı alanlarda uzun süre kabul gören birçok teorem ispatlamıştır. Bu çalışmaları esnasında, günümüzde kullanılan modern matematik terminolojisinin yaratıcısı olmuş fonksiyon kavramı ve onun yazımını tanımlamıştır (yaptığı bu çalışma için verilebilecek örneklerden bazıları trigonometrik fonksiyonlar için yaptığı sin, cos ve tan tanımlamalarıdır).
Euler matematiğin neredeyse bütün alanlarında çalışmıştır; geometri, aritmetik, trigonometri, cebir ve sayı teorisi. Bunlara ek olarak uzay-zaman süreklisi mekaniği, ay teorisi ve diğer pek çok alanda da katkıda bulunmuştur.
Euler' in çalışmalarının tamamı eğer basılsaydı 60 ve 80 quarto ciltlik yer kaplardı. Tahminlere göre çalışmalarının tamamının elde yazılarak kopyalanması günde 8 saat çalışmayla 50 sene sürer. Euler' in 200. doğum günü anısına 1907 yılında İsviçre Bilimler Akademisi tarafından başlatılan, tüm çalışmalarının bir araya getirilip basılması ile ilgili proje 100 seneyi aşmasına rağmen hâlâ devam etmektedir. Bugüne kadar basılmış çalışmalarının tamamı yeniden basıldı ve bu onun bütün çalışmalarının ancak dörtte birini oluşturuyor. Not defterlerinin ve kişisel notlarının da basılması plânlanıyor ve bunun yaklaşık 20 yıl alacağı tahmin ediliyor. Legendre'in anlattığına göre Euler tam bir matematik ispatını iki yemek öğünü arasında yapabiliyordu. Görüşleri birbirine oldukça paralel olmasına rağmen Euler ve Legendre hiç karşılaşmamıştır.
İlk matematik bilgilerini, babası Paul Euler'den aldı. İlahiyat öğrenimi görmek üzere, Basel Üniversitesine gönderildi. Burada Jean (I) Bernovilli 'nin derslerine devam etti. O'nun oğulları ile yakın arkadaş oldu. Onlar, Katerina I tarafından Saint-Petersburg'a çağrılınca, Euler de beraber gitti. 1732 yılında, İsviçre'ye dönen Daniel Bernouilli'nin kürsüsünde, O'nun yerini aldı. 1735 yılında, Mekanik Üstüne İnceleme (Traite Comple de Mecanique) adlı kitabı yayımlandı. Bu eserdeki konular, analizin, hareket bilimine uygulandığı ilk eserdir. 1741 yılında, Frederich II tarafından Berlin'e davet edildi ve 1744 yılında, Berlin Akademisi Matematik Bölümü Müdürü oldu.
Kendilerine oranla, bazı belirsiz fonksiyonların, bütün öteki fonksiyonlardan daha büyük ve daha küçük olduğu eğrileri veya yüzeyleri belirlemeye yarayan, Eş Çevreler Teorisi (Theorie des Isoperimetres) adlı eserini bu sırada bitirdi. Euler, bu eserinde, konu ile ilgili çözümlerin metodunu geliştirdi ve bunu genel bir formülle gösterdi. Aynı yıl, Gezegenlerin ve Kuyrukluyıldızların Hareket Teorisi (Theroie du Mouvement des Planetes et des Cometes) adlı eserini yayımladı. Mıknatıslanma Teorisi (Theroie de L' Aimantation) için, Paris Fen Akademisinin koyduğu ödülü kazandı. Bu yıllarda, Prusya Kralı'nın istediği, balistik problemleri çözdü. Kralın yeğeni, Anhalt-Dessau Prensesi, O'ndan fizik dersleri almak istedi. Yine bu sırada, Sonsuz Küçükler Analizine Giriş (İntroduction in Analysis İnfinitrom) (1748) ve Diferansiyel Hesabın Kuruluşları (İntotuones Calculi Differeniolis) (1755) adlı iki eseri yayımlandı. Bu kitaplar, uzun yıllar, konusu ile ilgili temel eserler sayıldı.
1776 yılında; Katerine II tarafından, Saint-Petersburg'a çağrıldığı sırada, öbür gözünü de kaybetti. Fakat bu sakatlık, O'nu çalışmalarından alıkoymadı ve İntegral Hesabın Kuruluşları (İnstitutiones Calculi İntegralis) (1768-1770) adlı eserinin çıkmasına engel olmadı.
Paris Fen Akademisi, Euler'in birçok çalışmalarını mükafatlandırmıştı. Ay teorisini, yeniden geliştirmesi için, 1770 ve 1773 yıllarında bir yarışma açtı. Bu yarışmayı, Euler ve oğlu Johann Alberecht kazandı.
Euler, matematikte yeni olan; Euler Açıları, Euler Çemberi, Euler Değişmezi, Euler Doğrusu, Euler Formülleri, Euler Fonksiyonu, Euler şekilleri gibi, pek çok yeni kavramlar kazandırdı.
EULER FORMÜLÜ
Euler formülü sıklıkla matematikteki en güzel formül olarak tanınır. İnsanlar formül baskılı tişörtlerini giyerler ve vücutlarına dövmesini yaptırırlar. Neden?
Bu formül
eiπ+1=0,
diye okunur ve buradaki e=2.7182818284...
doğal logaritmanın tabanıdır π=3.1415926535..., bir dairenin çevresi ile çapı arasındaki orandır ve i=√−1
Bu üç sabit sayı matematikte son derece önemlidir- ve eşitlik aynı zamanda 0 ve 1'i içerdiğinden, matematikteki en önemli sayıların beşini en önemli matematiksel işlemlerden ve ilişkilerden dördünü birleştiren bir formüle sahibiz - toplama, çarpma, üs alma ve eşitlik. Bu yüzden matematikçiler Euler formülünü çok seviyorlar.
Peki bu formül nereden geliyor ve anlamı ne? Yukarıda bahsettiğimiz gibi i=√−1
Negatif sayıların kare kökleri olmadığı farz edildiği için bu şok edici görünebilir. Ancak, basit bir şekilde −1 'in bir karekökü olduğuna hüküm getirirsek ve i olarak adlandırırsak, karmaşık sayılar adı verilen yeni bir sayı sınıfı inşa edebiliriz. Karmaşık sayılar x+iy biçimindedir; burada x ve y sıradan gerçel sayılardır ( x=0 ve y=1 gerçek sayıları için i karmaşık sayısı bulunur). Gerçel bir sayının karmaşık bir sayı olarak da görülebileceğini unutmamak gerekir. Örneğin −1, x=−1 ve y=0
için karmaşık bir sayıdır.
Tıpkı gerçel bir sayının sayı çizgisindeki bir nokta ile temsil edilmesi gibi, z
karmaşık sayısı da düzlemdeki bir nokta ile temsil edilir. z=x+iy karmaşık sayısını (x,y)
koordinatlarıyla ifade edilen nokta ile ilişkilendiririz.
Bu tasvirde kartezyen koordinatları kullandık, bu bir noktanın konumunu, yatay yönde ne kadar yürüyeceğinizi ve dikey yönde ne kadar yürüyeceğinizi söyleyerek tanımlar. Bununla birlikte, bir noktanın konumunu aşağıda gösterildiği gibi iki eksenin kesişme noktasından başlayan ok ile tarif etmek bazen daha uygundur.
Bu oku tanımlamak için uzunluğu r
ve pozitif x-ekseni ile (saat yönünün tersine) yaptığı θ açısına ihtiyacınız vardır. Bunlar bizim noktamızın kutupsal koordinatlarıdır. Temel trigonometri bize şunu söyler; eğer bir nokta (x,y) kartezyen koordinatlarına ve (r,θ) kutupsal koordinatlarına sahipse o zaman aşağıdaki şemada gösterildiği gibi, x=rcos(θ) ve y=rsin(θ).
Bu nedenle, noktamızın temsil ettiği z
karmaşık sayısı olan x+iy
, şu şekilde de yazılabilir:
z=r(cos(θ)+isin(θ)).
İşte can alıcı nokta geliyor. Tesadüfe bakın ki, r
ve θ
gerçek sayıları için
r(cos(θ)+isin(θ))=reiθ.
Bunu kuvvet serilerini kullanarak kanıtlayabilirsiniz. Üstel fonksiyon ile sinüs ve kosinüs olmak üzere iki trigonometrik fonksiyonun bu şekilde bağlanması güzel bir olgudur. Ve bu herhangi bir z
karmaşık sayısının reiθ olarak yazılabileceği anlamına gelir; burada r, düzlemdeki z ile ilişkili noktayı eksenlerin kesişim noktasına bağlayan çizginin uzunluğudur ve θ bu çizginin pozitif x
-ekseni ile (saat yönünün tersine) yaptığı açıdır.
Bu artık Euler eşitliğini açıklığa kavuşturuyor eiπ=1×eiπ
karmaşık sayısı, düzlemde π açısı ile ilişkili ve eksenlerin kesişim noktasından 1 mesafesindeki noktayı temsil eder. İşte bu nokta, −1 karmaşık sayısını temsil eden (−1,0)
kartezyen koordinatlarına sahip noktadır.
Bunların hepsini bir araya toplarsak
eiπ=−1,
olduğunu görürüz. Bu demek oluyor ki
eiπ+1=0.
Ve adı geçen Euler formülü.